Kamil Polikowski

ELEKTROMAGNETYZM

KARTKÓWKA 1 – instrukcja do zadań

Zadanie 1. Okrąg o promieniu R naładowano dodatnio z gęstością liniową . Oblicz natężenie pola elektrycznego i potencjał w punkcie P(0,0,H).

Ogólny wzór na natężenie pola pochodzące od ładunku wygląda tak:

Na rysunku pokazano naładowany okrąg o promieniu R, z zaznaczonymi współrzędnymi wybranego punktu, w którym zaczepiony jest wektor odległości oraz zaczepiony w punkcie (0,0,H) wektor rozłożony na składowe równoległe do poszczególnych osi.

Gęstość liniowa jest ilorazem zgromadzonego na okręgu ładunku i długości okręgu lub inaczej: ilorazem różniczkowej (tzn. bardzo małej) wielkości ładunku i różniczkowej długości . Dlatego ładunek uzależniamy od gęstości (dlatego że nie jest wielkością daną, nie występuje samodzielnie w zadaniu):

Teraz musimy podać współrzędne wektora odległości . Zwróćmy uwagę na rysunku, gdzie jest początek, a gdzie koniec wektora. Początek jest tam, gdzie wektor jest zaczepiony. Koniec jest tam, gdzie jest strzałka. Dlatego współrzędne początkowego punktu wektora określono jako , przy czym z góry wiadomo że w tym zadaniu . Współrzędne wektora będą więc różnicami między współrzędnymi końcowymi, a początkowymi wektora, czyli:

Ponieważ koniec wektora znajduje się dokładnie nad początkiem układu, to współrzędne i końca wektora będą równe zeru, a końcowy punkt składowej -owej wektora mieści się w punkcie (a początkowy w 0).

Teraz pora na przejście do układu współrzędnych walcowych, dzięki czemu łatwiej będzie nam wykonać niezbędne obliczenia. Na rysunku poniżej przedstawiono ten sam okrąg i wektory natężenia i odległości.

Wzory przekształcające współrzędne z układu na układ walcowy bierzemy z niezbędnika. Pamiętajmy, że dla kolejnych położeń ładunku na okręgu odległość pozostaje stała i równa jak również wysokość jest stała i równa . Jedyny parametr, który się zmienia w tym układzie to kąt . Otrzymujemy:

Należy jeszcze policzyć moduł wektora:

Teraz możemy już przystąpić do obliczenia natężenia pola. Natężenie pola jest wielkością wektorową, a więc musimy je rozłożyć na składowe. Składowe te są określone przez współrzędne wektora .

A więc możemy zapisać poszczególne, różniczkowe, wektory natężenia jako:

Obliczmy zatem wektor , oczywiście w układzie współrzędnych walcowych:

Ponieważ w całkowaniu po łuku w układzie walcowym , zatem:

Mając gotową funkcję opisującą składową -ową natężenia pola pochodzącego od różniczkowej wielkości ładunku, możemy obliczyć całkowitą składową poprzez ich zsumowanie, czyli scałkowanie po okręgu. Jak wcześniej napisano, promień jest stały i wynosi , stała jest też współrzędna , która wynosi . Zmienia się tylko kąt w granicach od do i tak też należy zapisać całki:

Liczymy podobnie następną składową:

Widzimy zatem, że składowe równoległe do osi kompensują się. Jedyną dodatnią składową będzie .

Tak więc ostatecznie:

Teraz pozostaje nam do obliczenia potencjał . Potencjał jest wielkością skalarną i niezależną od drogi całkowania. Liczy się tylko punkt końcowy i początkowy całki oznaczonej. Wzór ogólny na potencjał w punkcie P wygląda tak:

W naszym przypadku , zaś elementarny wektor długości zwrócony jest przeciwnie do wektora Wektor jest zwrócony „do góry” wzdłuż osi , a wektor „do dołu”, gdyż wektor drogi całki zorientowanej wskazuje zawsze górną granicę całkowania.

Stałą w naszej funkcji musimy zastąpić zmienną, po której będziemy całkować w celu obliczenia potencjału (z punktu widzenia poprawności wzoru obojętne jest, ile wynosi ). Poza tym funkcję zapisujemy biorąc pod uwagę tylko jej niezerową składową, czyli

Najpierw obliczamy iloczyn skalarny wewnątrz wyrażenia podcałkowego zamieniając jednocześnie

Wstawiamy do wzoru na potencjał:

Całkujemy korzystając z niezbędnika:

Zadanie 2. Koło o promieniu naładowano jednorodnie i dodatnio z gęstością powierzchniową . Oblicz natężenie pola i potencjał w punkcie .

Na początku z gęstości wyprowadzamy ładunek:

Określamy wektor odległości elementarnego ładunku powierzchniowego od punktu

Przenosimy współrzędne do układu walcowego zgodnie z rysunkiem. W tym przypadku zmienia się nie tylko kąt , ale i odległość określające pozycję ładunku .